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Preparação para graduação em áreas exatas: matemática além do básico

Um problema crítico enfrentado por calouros de graduação em qualquer área de exatas, como ciência da computação, engenharia (mecânica, civil, elétrica, da computação, etc.), física, matemática e estatística, é o baixo nível de embasamento matemático necessário ao ensino superior.

Eu fui monitor da disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica no curso de ciência da computação e conheci muitos estudantes com dificuldades elementares em soma de frações, funções, trigonometria, logarítmos, potenciação, radiciação e, até mesmo, em operações aritméticas básicas. Muitos não dominam nem a ordem de precedência das operações matemáticas, outros não sabem qual a diferença entre proporções, razões e taxas, um tanto não consegue interpretar gráficos e alguns têm dificuldade até na tabuada! Em resumo:

  • Muitos estudantes têm grandes deficiências em Matemática do Ensino Médio; e
  • Alguns têm grandes deficiências até em Matemática do Ensino Fundamental (atual 6º ao 9º anos; antiga 5ª a 8ª séries).

Sem querer discutir as causas do problema, quero aqui sugerir uma solução “simples”: estudar (ou reestudar!) por boas coleções matemáticas de ensino fundamental (se sua base elementar na matemática é muito fraca), e/ou por uma das coleções matemáticas avançadas para o ensino médio e pré-vestibular.

As seções abaixo trazem uma espécie de “roteiro” de estudos para que você se prepare para cursar alguma área de exatas e/ou para sanar suas dificuldades atuais. Grande parte do roteiro foi retirado de fóruns de discussão a respeito do ensino de matemática, de grupos específicos para matemática e do Guia do CDF (blog escrito por Sérgio Luís da Silva com ótimos artigos sobre como estudar matemática, de onde retirei muitas sugestões que aparecem aqui).

Note que o roteiro traz livros desde bem básicos até os mais avançados. Você deve selecionar os livros levando em consideração o seguinte:

  • Se seu objetivo não é uma área de exatas, mas você quer dominar a matemática necessária para o resto de sua vida profissional em qualquer área:
    • Obrigatório: Seção 1
    • Recomendado: Seção 1 e Seção 2
  • Se seu objetivo é uma área de exatas em uma universidade pouco concorrida, e você não qur perder muito tempo:
    • Obrigatório: Seção 1 e Seção 2
    • Recomendado: Seção 1, Seção 2 e Seção 3
  • Se seu objetivo é uma área de exatas em uma universidade muito concorrida ou se você já está em um curso de exatas e está com dificuldade na matemática:
    • Obrigatório: Seção 1, Seção 2 e Seção 3
    • Recomentado: Seção 1, Seção 2, Seção 3 e Seção 4.1.1
  • Se seu objetivo é IME, ITA ou Olimpíadas de Matemática:
    • Obrigatório: todas as seções
  • Qualquer que seja seu objetivo, leia a Seção 5.

1 Matemática do Ensino Fundamental

Se você domina bem a matemática do ensino fundamental, pode pular esta seção e seguir para a próxima, mas seja honesto na avaliação de suas habilidades!

Se você tem dificuldade na base mais elementar da matemática, não adianta tentar seguir adiante. O mais importante é corrigir as deficiências elementares antes de prosseguir para assuntos mais avançados. E só há uma maneira para corrigir essas deficiências elementares da base matemática: reestudar o conteúdo matemático do ensino fundamental.

Você tem duas opções para melhorar sua base matemática do ensino fundamental: livros em inglês ou livros em português. Se você lê bem em inglês essa é a melhor opção pois os livros recomendados abaixo estão disponíveis gratuitamente na internet e são periodicamente atualizados pelos autores; se você não lê bem em inglês, vá para a opção de livros em português.

Mesmo que você já esteja na universidade, não é vergonha nenhuma assumir que sua base matemática é ruim e voltar para os livros do ensino fundamental. Pior é você se auto-enganar achando que sabe e depois não conseguir progredir na matemática de nível universitário!

1.1 Opção em inglês

Comece estudando o livro “Prealgebra“, segunda edição, disponível online e em PDF no site da OpenStax. Não se assuste com o tamanho do livro (tem 1.146 páginas) pois ele contém muitas figuras, esquemas, exercícios e soluções:

Prealgebra, segunda edição

Depois de ter estudado (e feito os exercícios!) do Prealgebra, é hora de estudar o livro “Elementary Algebra“, segunda edição, também disponível online e em PDF. Novamente, não se assuste com o tamanho do livro (tem 1.340 páginas):

Elementary Algebra, segunda edição

Esses dois livros lhe darão toda a base matemática do ensino fundamental brasileiro (6º ao 9º anos), além de algumas coisas que aqui no Brasil só são vistas no ensino médio.

1.2 Opção em português

Se você não lê em inglês terá que usar alguma coleção brasileira de matemática do ensino fundamental. O Guia do CDF recomenda a coleção Matemática e Realidade, de Gelson Iezzi e outros autores. Essa coleção é composta de 4 livros que podem ser adquiridos em qualquer livraria.

Livro do 6º ano (antiga 5ª série)
Livro do 7º ano (antiga 6ª série)
Livro do 8º ano (antiga 7ª série)
Livro do 9º ano (antiga 8ª série)

2 Matemática do Ensino Médio: estudo geral

Se você não domina adequadamente a matemática do ensino fundamental, não continue! Volte para a seção anterior e siga as orientações de estudo da matemática do ensino fundamental.

Se, ao contrário, você acredita que já tem uma boa base (seja honesto em sua avaliação!) da matemática em nível fundamental, continue aqui.

Novamente você terá duas opções: os livros em inglês ou os livros em português.

2.1 Opção em inglês

Comece estudando o “Intermediate Algebra“, segunda edição, disponível online e em PDF no OpenStax. Novamente, não se assuste com o tamanho do livro (1.395 páginas):

Intermediate Algebra, segunda edição

Quanto terminar (você fez os exercícios?), continue seus estudos com o “Algebra and Trigonometry“, também disponível online e em PDF. Mais uma vez, não se assuste com o tamanho do livro (1.220 páginas):

Algebra and Trigonometry

Quando terminar (você realmente fez os exercícios?), continue seus estudos com o “College Algebra“, disponível online e em PDF. Esse é o menor de todos (896 páginas):

College Algebra

Alguns capítulos parecem ser repetidos de um livro para outro, mas não se deixe enganar: apesar do assunto ser o mesmo, o nível de profundidade em cada um é diferente e isso é proposital! Isso é feito para que você estude os mesmos assuntos repetidas vezes, cada vez com maior profundidade. Por isso é essencial que você faça os exercícios dos livros!

2.2 Opção em português

Se optar por livros em português, qualquer coleção de matemática do ensino médio pode ser utilizada. O Guia do CDF recomenta a coleção Matemática, do Manuel Paiva, em 3 volumes que podem ser adquiridos em qualquer livraria:

Volume do 1º ano do ensino médio
Volume do 2º ano do ensino médio
Volume do 3º ano do ensino médio

3 Matemática do Ensino Médio: complemento para áreas exatas

Se seu objetivo não é um curso na área de exatas, é um desperdício de tempo estudar os livros sugeridos nesta e nas próximas seções, pois com o conteúdo das Seções 1 e 2 você terá toda a matemática necessária para sua vida profissional.

Entretanto, se você quer entrar (ou já está) em um curso superior na área de exatas, principalmente se busca um curso muito concorrido, além de estudar todos os livros indicados nas Seções 1 e 2, você terá que complementar seus estudos com os livros desta seção.

Basicamente você precisará complementar seus estudos em três áreas mais avançadas. São elas:

  1. Estudar uma das coleções avançadas para o ensino médio;
  2. Estudar estatística básica; e
  3. Estudar pré-cálculo.

ATENÇÃO: seja honesto na avaliação de suas habilidades atuais! Se você não tem uma base matemática sólida, siga o plano de estudo da Seção 1 e/ou 2, antes de começar a Seção 3! NÃO CONTINUE se sua base não é sólida!

3.1 Coleções avançadas para o ensino médio

Existem duas coleções avançadas para o estudo da matemática do ensino médio:

  • Noções de Matemática (NM), em 8 volumes, do Aref Antar Neto e outros autores; e
  • Fundamentos de Matemática Elementar (FME), em 11 volumes, do Gelson Iezzi e outros autores.

Elas tratam dos mesmos assuntos e, assim, você pode optar por uma ou outra. Claro, se quiser, pode estudar pelas duas, mas não é necessário.

3.1.1 Noções de Matemática

A coleção Noções de Matemática (NM), do professor Aref Antar Neto e outros autores foi, durante muitos anos, uma das mais conceituadas coleções para o ensino da matemática, mas ficou décadas esgotada e não disponível. Entretanto, há alguns anos, a Editora VestSeller reeditou todos os livros da NM e os disponibilizou para compra em seu site.

Apesar da reedição ter recebido algumas críticas por ter sido uma mera reimpressão dos livros exatamente como eram há mais de 30 anos atrás (incluindo alguns errinhos de revisão e conteúdo), a NM continua sendo um recurso excelente para estudar matemática em nível avançado no ensino médio.

A coleção tem 8 volumes (clique na imagem para ser direcionado à página do livro correspondente no site da VestSeller):

Volume 1: Conjuntos e Funções
Volume 2: Progressões e Logarítmos
Volume 3: Trigonometria
Volume 4: Combinatória, Matrizes e Determinantes
Volume 5: Geometria Plana e Espacial
Volume 6: Geometria Analítica
Volume 7: Números Complexos e Polinômios
Volume 8: Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral

A coleção não é barata: o preço de cada livro varia entre R$ 79,00 e R$ 91,00. A VestSeller também disponibiliza um pacote com todos os livros, se você quiser comprar a coleção completa:

Eu comprei a coleção NM no ano passado, na VestSeller, e estou muito satisfeito, principalmente pelas explicaçẽos detalhadas dos conceitos e pelos exercícios resolvidos como exemplo, que realmente facilitam o entendimento do assunto.

3.1.2 Fundamentos de Matemática Elementar

A coleção Fundamentos de Matemática Elementar (FME), do professor Gelson Iezzi e outros autores, nunca ficou esgotada e pode ser facilmente encontrada nas grandes livrarias.

Apesar da edição mais nova ter incluído questões recentes de vestibulares, também recebeu críticas pois o texto base é o mesmo há mais de 20 anos. Mesmo assim é uma coleção excelente para aprender matemática além do básico.

A coleção tem 11 volumes (clique na imagem para ser direcionado à página do livro correspondente no site da Amazon):

Volume 1: Conjuntos e Funções
Volume 2: Logarítmos
Volume 3: Trigonometria
Volume 4: Sequências, Matrizes, Determinantes e Sistemas
Volume 5: Combinatória e Probabilidade
Volume 6: Complexos, Polinômios e Equações
Volume 7: Geometria Analítica
Volume 8: Limites, Derivadas e Noções de Integral
Volume 9: Geometria Plana
Volume 10: Geometria Espacial
Volume 11: Matemática Comercial; Matemática Financeira; Estatística Descritiva

Até o momento eu já adquiri 5 volumes dessa coleção e são todos excelentes. Infelizmente é uma coleção bem mais cara do que a NM porque são 11 volumes e cada um custa entre R$ 142,00 e R$ 160,00.

3.2 Estatística básica

Dominar, pelo menos o básico, de estatística será uma vantagem muito grande em seus estudos posteriores. Para isso você deve estudar os 3 primeiros capítulos do “Statistics: High School“, disponível gratuitamente no site da OpenStax para leitura online ou em PDF para download:

Statistics: High School

Os demais capítulos são mais avançados e mais indicados para alunos já em anos avançados de cursos superiores ou alunos de pós-graduação (mestrado e doutorado). Os três primeiros capítulos são suficientes por enquanto.

3.3 Pré-cálculo

Muitas universidades, justamente porque os alunos chegam com grandes deficiências em matemática, acabam oferecendo uma disciplina de pré-cálculo para os alunos, como uma forma de “revisão” e “nivelamento” antes das disciplinas de cálculo diferencial e integral.

Minha sugestão aqui é que você se antecipe e estude o conteúdo de pré-cálculo também! Aqui você tem duas opções: um livro bem pequeno e objetivo, para uma revisão rápida, ou um livro bem mais denso para um estudo detalhado e extenso. Opte pela revisão rápida se achar que sua base matemática está muito boa, ou pelo estudo detalhado caso contrário.

3.3.1 Pré-cálculo: revisão rápida

O melhor livro que eu conheço para uma revisão rápida de pré-calculo é o “Precalculus Mathematics in a Nutshell: Geometry, Algebra and Trigonometry“, de George Simmons:

Precalculus Mathematics in a Nutshell

É um livro com 130 páginas que vai direto ao ponto: faz uma revisão rápida e abrangente, sem muitas explicações e demonstrações, de geometria, álgebra e trigonometria.

Se você já está “afiado” nessas matérias, basta essa revisão para resolver o conteúdo de pré-cálculo.

3.3.2 Pré-cálculo: estudo detalhado

Caso você deseje fazer um estudo detalhado e profundo de funções matemáticas, trigonometria, sistemas de equações e inequações, geometria analítica, seqüências e outros assuntos importantes, o livro para você é o “Precalculus“, disponível gratuitamente no OpenStax para leitura online ou um PDF para download:

Precalculus

É um livro bem extenso (1.156 páginas), com um tratamento detalhado e rigoroso de funções matemáticas e outros tópicos essenciais para o futuro estudante de cálculo diferencial e integral.

4 Matemática para ITA, IME, Olimpíadas…

Se o seu interesse é um dos colégios militares com vestibular altamente rigoroso como o do Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) ou do Instituto Militar de Engenharia (IME), ou se seu interesse é participar de Olimpíadas de Matemática como a OBMEP, a OBM ou a IMO, então depois de terminar os estudos da Seção 3, terá que se dedicar um pouco mais.

4.1 Matemática para ITA, IME

Para estudar especificamente para ITA ou IME, você pode optar alguma das três coleções editadas pela VestSeller:

  • Elementos da Matemática
  • Tópicos de Matemática: IME – ITA – Olimpíadas
  • Matemática em Nível IME/ITA

4.1.1 Elementos da Matemática

A coleção Elementos da Matemática (EM), do professor Marcelo Rufino de Oliveira, é altamente conceituada como estudo preparatório para os colégios militares.

Eu não tenho nenhum volume dessa coleção mas por orientação de outros professores, é uma coleção recomendada para estudos mais avançados, depois que você tenha estudado uma das coleções anteriores (Noções de Matemática ou Fundamentos de Matemática Elementar).

A coleção tem 7 volumes dois quais a editora VestSeller reeditou e lançou 6 (ainda não lançou o último volume, de Cálculo) que estão disponíveis para compra:

Volume 0: Álgebra, Proporção e Frações
Volume 1: Conjuntos, Funções e Aritmética
Volume 2: Geometria Plana
Volume 3: Seqüências, Análise Combinatória e Matrizes
Volume 4: Complexos, Polinômios e Geometria Analítica
Volume 5: Trigonometria e Geometria Espacial

Os livros dessa coleção estão custando entre R$ 78,00 e R$ 95,00.

4.1.2 Tópicos de Matemática: IME – ITA – Olimpíadas

A coleção “Tópicos de Matemática: IME – ITA – Olimpíadas“, em 3 volumes, dos autores Carlos Gomes e José Gomes, também pode ser sua opção:

Tópicos de Matemática: IME – ITA – Olimpíadas, volume 1
Tópicos de Matemática: IME – ITA – Olimpíadas, volume 2
Tópicos de Matemática: IME – ITA – Olimpíadas, volume 3

4.1.3 Matemática em Nível IME/ITA

Uma outra opção é a coleção “Matemática em Nível IME/ITA“, em 2 volumes, de Caio Guimarães:

Matemática em Nível IME/ITA, volume 1
Matemática em Nível IME/ITA, volume 1

4.2 Matemática para as Olimpíadas

Além dos livros de matemática em nível IME/ITA, você precisará estudar e se preparar para discussões em nível teórico, e saber fazer demonstrações de teoremas.

Para não me estender mais, vou te direcionar para o “Guia do CDF: Como estudar Matemática em Nível Olímpico“. Lá há diversas sugestões de livros publicados diretamente pela Sociedade Brasileira de Matemática que serão importantes.

5 Faça os exercícios

Já li em algum livro (infelizmente não me lembro qual livro) que estudar matemática é igual aprender a andar de bicicleta.

Você não consege aprender a andar de bicicleta só lendo um livro, você tem que subir na bicicleta, pedalar, cair, voltar, pedalar, cair novamente, voltar novamente e assim por diante até aprender.

Estudar matemática é semelhante: você não consegue aprender só lendo os livros, você tem que fazer os exercícios (“pedalar”), errar (“cair”), refazer os exercícios (“voltar a pedalar”), errar novamente (“cair de novo”), refazer os exercícios e assim por diante até aprender.

Mas se você for fazer todos os exercícios de todos os livros que estão sugeridos aqui, você precisará de muito tempo para terminar (são milhares de exercícios!).

Na realidade você não precisa fazer todos os exercícios, faça os exercícios até o momento em que você achar que se tornaram muito “fáceis” ou muito “repetitivos” (sinal de que você dominou bem a matéria), e dê atenção especial aos exercícios conceituais e aos mais “difíceis” (sinal de que você ainda não dominou bem a matéria).

Depois dessa extensa caminhada você verá como a matemática do ensino superior (o “temido” cálculo diferencial e integral) ficará muito, muito mais fácil!

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