A equação de Ricatti é uma equação diferencial não-linear com a forma geral dada por:
Ela é uma equação diferencial bem específica, com o que parece ser uma equação quadrática de y do lado direito.
Para resolver a equação de Ricatti nos baseamos em uma solução particular conhecida chamada de y_1. Note que y_1 não é a solução geral para e equação de Ricatti, é apenas uma solução em particular que sabemos previamente que funciona. A partir dessa solução particular conhecida y_1 nós podemos encontrar a solução geral y para a equação de Ricatti com a seguinte idéia: se y_1 é uma solução particular para Ricatti, então podemos achar a solução geral y da seguinte forma:
ou seja, a solução paticular y_1 “fará parte” da solução geral, acrescida de um termo u. Na Equação acima sabemos de antemão o valor da solução particular, mas ainda não sabemos o que u será. Portanto, para encontrar a solução geral para Ricatti, precisamos descobrir o valor de u. Como isso pode ser feito?
Usando y=y_1+u como o formato da solução geral, temos que:
Agora vamos utilizar os valores de dy/dx e de y ilustrados na equação acima e substituir na equação original de Ricatti:
Expandindo os termos teremos então:
Reordenando os termos da equação temos então:
Preste atenção na equação acima: note que o termo \left[P(x) + Q(x)y_1 + R(x)y_1^2\right] é, na verdade, uma outra equação de Ricatti que pode ser reescrita como dy_1/dx! Note também que podemos simplificar o termo \left[Q(x)u + 2R(x)y_1u\right] colocando o u em evidência. Fazendo isso teremos:
Após simplificar dy_1/dx em ambos os lados chegamos em:
Subtraindo \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u em ambos os lados chegaremos em:
E o que é a equação acima? Se você reparar bem verá que é uma equação de Bernoulli na forma geral:
Saímos de uma equação de Ricatti e chegamos em uma equação de Bernoulli! Ainda não encontramos a solução para a equação de Ricatti, chegamos apenas em nossa “escala” até o destino final, uma equação linear. Mas agora devemos resolver a equação de Bernoulli.
Para resolver a equação de Bernoulli, a chave é usar a substituição:
Como, na equação de Bernoulli que obtivemos, n=2, w será:
Diferenciando implicitamente teremos:
Agora substituímos du/dx na equação:
Podemos então dividir a equação por -u^2:
Considerando que u^{-1} = w, podemos substituir u^{-1} por w na equação e chegar em:
Note que a equação acima é uma equação Linear com a forma geral:
Assim, realizando substituições sucessivas relativamente simples, conseguimos chegar em uma equação linear saindo de Ricatti, e passando por Bernoulli. Para encontrar a solução geral para a equação de Ricatti basta agora resolver a equação linear final.
Em resumo, saímos da equação de Ricatti:
passamos por uma equação de Bernoulli:
e chegamos em uma equação linear:
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