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Roteiro de viagem: de Ricatti até Linear, com escala em Bernoulli

A equação de Ricatti é uma equação diferencial não-linear com a forma geral dada por:

\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2

Ela é uma equação diferencial bem específica, com o que parece ser uma equação quadrática de y do lado direito.

Para resolver a equação de Ricatti nos baseamos em uma solução particular conhecida chamada de y_1. Note que y_1 não é a solução geral para e equação de Ricatti, é apenas uma solução em particular que sabemos previamente que funciona. A partir dessa solução particular conhecida y_1 nós podemos encontrar a solução geral y para a equação de Ricatti com a seguinte idéia: se y_1 é uma solução particular para Ricatti, então podemos achar a solução geral y da seguinte forma:

y=y_1+u

ou seja, a solução paticular y_1 “fará parte” da solução geral, acrescida de um termo u. Na Equação acima sabemos de antemão o valor da solução particular, mas ainda não sabemos o que u será. Portanto, para encontrar a solução geral para Ricatti, precisamos descobrir o valor de u. Como isso pode ser feito?

Usando y=y_1+u como o formato da solução geral, temos que:

\begin{aligned} y &= y_1 + u\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} \end{aligned}

Agora vamos utilizar os valores de dy/dx e de y ilustrados na equação acima e substituir na equação original de Ricatti:

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= P(x) + Q(x)y + R(x)y^2\\ \frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} &= P(x) + Q(x)(y_1 + u) + R(x)(y_1 + u)^2 \end{aligned}

Expandindo os termos teremos então:

\frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} = P(x) + Q(x)y_1 + Q(x)u + R(x)y_1^2 + 2R(x)y_1u + R(x)u^2

Reordenando os termos da equação temos então:

\frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} = \left[P(x) + Q(x)y_1 + R(x)y_1^2\right] + \left[Q(x)u + 2R(x)y_1u\right] + R(x)u^2

Preste atenção na equação acima: note que o termo \left[P(x) + Q(x)y_1 + R(x)y_1^2\right] é, na verdade, uma outra equação de Ricatti que pode ser reescrita como dy_1/dx! Note também que podemos simplificar o termo \left[Q(x)u + 2R(x)y_1u\right] colocando o u em evidência. Fazendo isso teremos:

\frac{dy_1}{dx} + \frac{du}{dx} = \frac{dy_1}{dx} + \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u + R(x)u^2

Após simplificar dy_1/dx em ambos os lados chegamos em:

\begin{aligned} \cancel{\frac{dy_1}{dx}} + \frac{du}{dx} &= \cancel{\frac{dy_1}{dx}} + \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u + R(x)u^2\\ \frac{du}{dx} &= \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u + R(x)u^2 \end{aligned}

Subtraindo \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u em ambos os lados chegaremos em:

\frac{du}{dx} – \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u = R(x)u^2

E o que é a equação acima? Se você reparar bem verá que é uma equação de Bernoulli na forma geral:

\frac{du}{dx} + P(x)u = f(x)u^n

Saímos de uma equação de Ricatti e chegamos em uma equação de Bernoulli! Ainda não encontramos a solução para a equação de Ricatti, chegamos apenas em nossa “escala” até o destino final, uma equação linear. Mas agora devemos resolver a equação de Bernoulli.

Para resolver a equação de Bernoulli, a chave é usar a substituição:

w=u^{1-n}

Como, na equação de Bernoulli que obtivemos, n=2, w será:

\begin{aligned} w &= u^{1-n} = u^{1-2}\\ w &= u^{-1} \end{aligned}

Diferenciando implicitamente teremos:

\begin{aligned} w &= u^{-1}\\ \frac{dw}{dx} &= \frac{d}{dx}u^{-1} \frac{du}{dx}\\ \frac{dw}{dx} &= -u^{-2} \frac{du}{dx}\\ \frac{du}{dx} &= -u^2 \frac{dw}{dx} \end{aligned}

Agora substituímos du/dx na equação:

\begin{aligned} \frac{du}{dx} – \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u &= R(x)u^2\\ -u^2 \frac{dw}{dx} – \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u &= R(x)u^2 \end{aligned}

Podemos então dividir a equação por -u^2:

\begin{aligned} \cfrac{-u^2 \cfrac{dw}{dx}}{-u^2} – \cfrac{\left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u}{-u^2} &= \cfrac{R(x)u^2}{-u^2}\\ \cfrac{dw}{dx} + \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u^{-1} &= -R(x) \end{aligned}

Considerando que u^{-1} = w, podemos substituir u^{-1} por w na equação e chegar em:

\frac{dw}{dx} + \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]w = -R(x)

Note que a equação acima é uma equação Linear com a forma geral:

\frac{dw}{dx} + P(x)w = f(x)

Assim, realizando substituições sucessivas relativamente simples, conseguimos chegar em uma equação linear saindo de Ricatti, e passando por Bernoulli. Para encontrar a solução geral para a equação de Ricatti basta agora resolver a equação linear final.

Em resumo, saímos da equação de Ricatti:

\boxed{\frac{dy}{dx} = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2}

passamos por uma equação de Bernoulli:

\boxed{\frac{du}{dx} – \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]u = R(x)u^2}

e chegamos em uma equação linear:

\boxed{\frac{dw}{dx} + \left[Q(x) + 2R(x)y_1\right]w = -R(x)}

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